Question

如圖，點F是橢圓W：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點，A、B分別是橢圓的右頂點與上頂點，橢圓的離心率為

1

2

，三角形ABF的面積為

3 3

2

，
（Ⅰ）求橢圓W的方程；
（Ⅱ）對于x軸上的點P（t，0），橢圓W上存在點Q，使得PQ⊥AQ，求實數t的取值范圍；
（Ⅲ）直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓W交于不同的兩點M、N （M、N異于橢圓的左右頂點），若以MN為直徑的圓過橢圓W的右頂點A，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓的離心率為

1

2

，三角形ABF的面積為

3 3

2

，可求幾何量，從而可求橢圓W的方程；
（Ⅱ）利用向量的數量積公式，化簡可得t的函數關系式，從而可得實數t的取值范圍；
（Ⅲ）直線方程與橢圓方程聯立，利用以MN為直徑的圓過橢圓W的右頂點A，結合向量知識、韋達定理求出k，m的關系，即可得到結論．

解答：（Ⅰ）解：由e=

c

a

=

1

2

，即a=2c，得b=

a2-c2

=

3

c，
∴S△ABF=

1

2

(a+c)•b=

3 3

2

c2=

3 3

2

，解得c²=1，∴a²=4c²=4，b²=a²-c²=3，
∴橢圓W的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；…（3分）
（Ⅱ）解：A（2，0），P（t，0），設Q（x，y），則

x2

4

+

y2

3

=1，

PQ

=(x-t，y)，

AQ

=(x-2，y)，
∵

PQ

⊥

AQ

，∴（x-t）（x-2）+y²=0，∴(x-t)(x-2)+3(1-

x2

4

)=0，…（5分）
∵-2＜x＜2，∴x-t-

3(2+x)

4

=0，即t=

x-6

4

∈(-2，-1)；…（7分）
（Ⅲ）證明：聯立

y=kx+m 3x2+4y2=12

消y得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，即m²＜3+4k²，x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

，…（9分）

AM

=(x1-2，y1)，

AN

=(x2-2，y2)，
若以MN為直徑的圓過橢圓W的右頂點A，則

AM

•

AN

=(x1-2)(x2-2)+y1y2=0，
即（x₁-2）（x₂-2）+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，…（11分）
展開整理得：x1x2-2(x1+x2)+4+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=0，
即

4m2-12

3+4k2

-2(-

8km

3+4k2

)+4+k2(

4m2-12

3+4k2

)+km(-

8km

3+4k2

)+m2=0，
通分化簡得

7m2+16km+4k2

3+4k2

=0，即7m²+16km+4k²=0，
分解得（7m+2k）（m+2k）=0，得7m+2k=0或m+2k=0，即m=-

2k

7

或m=-2k，
當m=-

2k

7

時，直線y=kx+m=k(x-

2

7

)，即直線過定點(

2

7

，0)
當m=-2k時，直線y=kx+m=k（x-2），即直線過定點（2，0），但與右頂點A重合，舍去，
綜合知：直線l過定點，該定點的坐標為(

2

7

，0)．…（14分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．