Question

【題目】已知定義域為R的函數f（x）=是奇函數．
（1）求a，b的值；
（2）判斷函數f（x）的單調性，并用定義證明；
（3）若對于任意都有f（kx2）+f（2x﹣1）＞0成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）因為f（x）是奇函數，所以f（0）=0=0，解得b=1，
f（x）=，又由f（1）=﹣f（﹣1）=，解得a=2．
（2）證明：由（1）可得：f（x）==．
x1＜x2 ， ∴＞0，
則f（x1）﹣f（x2）==＞0，
∴f（x1）＞f（x2）．
∴f（x）在R上是減函數．
（3）∵函數f（x）是奇函數．
∴f（kx2）+f（2x﹣1）＞0成立，等價于f（kx2）＞﹣f（2x﹣1）=f（1﹣2x）成立，
∵f（x）在R上是減函數，∴kx2＜1﹣2x，
∴對于任意都有kx2＜1﹣2x成立，
∴對于任意都有k＜，
設g（x）=，
∴g（x）==，
令t=，t∈[，2]，
則有,，∴g（x）min=g（t）min=g（1）=﹣1
∴k＜﹣1，即k的取值范圍為（﹣∞，﹣1）
【解析】（1）直接根據函數是奇函數，滿足f（﹣x）=﹣f（x），把x=0，和x=1代入，即可得到關于a，b的兩個等式，解方程組求出a，b的值．
（2）利用減函數的定義即可證明．
（3））f（kx2）+f（2x﹣1）＞0成立，等價于f（kx2）＞﹣f（2x﹣1）=f（1﹣2x），即k＜成立，設g（x）= ，
換元使之成為二次函數，再求最小值．