Question

【題目】如圖所示，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為8cm，M，N，P分別是AB，A1D1 ， BB1的中點．
（1）畫出過M，N，P三點的平面與平面A1B1C1D1的交線以及與平面BB1C1C的交線；
（2）設過M，N，P三點的平面與B1C1交于Q，求PQ的長．

Answer 1

【答案】解：（1）如圖所示：∵MP平面ABB1 ，
∴MP與底面ABCD的交點K必在側面ABB1與底面ABCD的交線AB上，
∴過點M，N，P的平面與平面ABCD的交線是NK，（K在線段AB的延長線上），與平面BB1C1C的交線是PQ（Q在線段BC上）．∵BK∥A1B1 ，
∴==1，∴BK=4．
∵BQ∥AN，∴==，
∴BQ=．
（2）由（1）可知：BQ=，BP=4，在Rt△BPQ中，由勾股定理得PQ==．

【解析】（1）根據MP與底面ABCD的交點K必在側面ABB1與底面ABCD的交線AB上，連接NK交BC與Q，與平面BB1C1C的交線是PQ．
（2）根據（1）得到的交線PQ，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得．