Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和s_n滿足a_n+3s_n•s_n-1=0（n≥2，n∈N^*），a₁=

1

3

，則na_n的最小值為

-

1

3

．

Answer 1

分析：利用n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，將a_n+3s_n•s_n-1=0（n≥2，n∈N^*），變形為S_n-S_n-1+3S_nS_n-1=0．
進而得到

1

Sn

-

1

Sn-1

=3．利用等差數(shù)列的通項公式即可得出S_n．進而得到na_n=n（S_n-S_n-1），利用其單調(diào)性即可得出．

解答：解：∵a_n+3s_n•s_n-1=0（n≥2，n∈N^*），∴S_n-S_n-1+3S_nS_n-1=0．
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=3．
∴數(shù)列{

1

Sn

}是以

1

S1

=3為首項，3為公差的等差數(shù)列．
∴

1

Sn

=3+(n-1)×3，解得Sn=

1

3n

．
n=1時也成立．
∴na_n=n（S_n-S_n-1）=n(

1

3n

-

1

3(n-1)

)=

1

3

-

n

3(n-1)

=-

1

3(n-1)

．
n≥2，-

1

3(n-1)

單調(diào)遞增，其最小值為-

1

3

，而-

1

3

＜1×

1

3

，故na_n的最小值為-

1

3

．
故答案為-

1

3

．

點評：熟練掌握a_n與S_n的相互轉(zhuǎn)化、等差數(shù)列的通項公式及其數(shù)列的單調(diào)性即可得出．