Question

Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝36，若平面ABC外一點P與平面A，B，C三點等距離，且P到平面ABC的距離為80，M為AC的中點．

(1)求證：PM⊥AC；

(2)求P到直線AC的距離；

(3)求PM與平面ABC所成角的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)∵PA＝PC，M是AC中點，∴PM⊥AC 　　解：(2)∵BC＝36，∴MH＝18，又PH＝80， 　　∴PM＝，即P到直線AC的距離為82； 　　(3)∵PM＝PB＝PC，∴P在平面ABC內的射線為△ABC的外心， 　　∵∠C＝90°∴P在平面ABC內的射線為AB的中點H． 　　∵PH⊥平面ABC，∴HM為PM在平面ABC上的射影， 　　則∠PMH為PM與平面ABC所成的角，∴tan∠PMH＝

提示：

點P到△ABC的三個頂點等距離，則P在平面ABC內的射影為△ABC的外心，而△ABC為直角三角形，其外心為斜邊的中點．