Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）和橢圓

x2

16

+

y2

9

=1有相同的焦點，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析：先利用雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）和橢圓有相同的焦點求出c=

7

，再利用雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，求出a=2，即可求雙曲線的方程．

解答：解：由題得，雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦點坐標為（

7

，0），（-

7

，0），c=

7

：
且雙曲線的離心率為2×

7

4

=

7

2

=

c

a

⇒a=2．⇒b²=c²-a²=3，
雙曲線的方程為

x2

3

-

y2

4

=1．

點評：本題是對橢圓與雙曲線的綜合考查．在解關于橢圓與雙曲線離心率的題時，一定要注意橢圓中a最大，而雙曲線中c最大．