Question

已知a²+b²=1，a，b∈R，求證：|acosθ+bsinθ|≤1．

Answer 1

分析：法一：可利用不等式：（acos θ+bsin θ）²≤（a²+b²）（cos²θ+sin²θ）直接證明出結果；
法二：利用換元法轉化到三角函數中，利用三角函數的有界性證明不等式

解答：證明：法一：∵（acos θ+bsin θ）²≤（a²+b²）（cos²θ+sin²θ）
=1•1=1，∴|acos θ+bsin θ|≤1．
法二：由于知a²+b²=1，a，b∈R，故可令a=sinα，b=cosα
由acosθ+bsinθ=sinαcosθ+cosαsinθ=sin（θ+α）∈[-1，1]
故：|acosθ+bsinθ|≤1

點評：本題考察基本不等式在最值中的應用，對于本題利用坐差法得出的結論：（acos θ+bsin θ）²≤（a²+b²）（cos²θ+sin²θ）證明比較快，但此結論難記，方法二用到了換元法，把問題轉化到了三角函數中解決，此方法對于本題較為有效，可以利用三角換元的問題特征：出現了兩個數的平方和等于某數的形式，一般都可進行三角換元