Question

【題目】(本小題滿分12分)

已知函數(shù)，函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（Ⅲ）若，求證：不等式： .

Answer 1

【答案】(1)略（2） （3）略

【解析】試題分析：對函數(shù)求導(dǎo)，討論，確定單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性；作差構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)

判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)不等式恒成立條件，求出的范圍；借助第二步的結(jié)論，證明不等式.

試題解析：

（Ⅰ） ，

當(dāng)時，增區(qū)間，無減區(qū)間

當(dāng)時，增區(qū)間，減區(qū)間

（Ⅱ）

即在上恒成立

設(shè)，考慮到

，在上為增函數(shù)

， 當(dāng)時，

在上為增函數(shù)， 恒成立

當(dāng)時， ， 在上為增函數(shù)

，在上， ， 遞減，

，這時不合題意，

綜上所述，

（Ⅲ）要證明在上，

只需證明

由（Ⅱ）當(dāng)a=0時，在上， 恒成立

再令

在上， ， 遞增，所以

即，相加，得

所以原不等式成立.