Question

【題目】（本小題滿分12分）

已知四棱柱的底面是邊長為的菱形，且， 平面， ，設為的中點。

（Ⅰ）求證： 平面

（Ⅱ）點在線段上，且平面，

求平面和平面所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)略 （2）

【解析】試題分析：證明線面垂直只需證明直線與平面內的兩條相交直線垂直；求二面角有兩種方法：一是先做再證，最后求出，是一種傳統方法，另一種是建立空間直角坐標系，利用法向量求二面角,本題采用第二種方法.

試題解析：

（Ⅰ）證明：因為已知該四棱柱為直四棱柱，且為等邊三角形， ，所以平面，而平面，故,又因為的三邊長分別為，所以為等腰直角三角形

所以，結合， ,所以 平面

（Ⅱ）解：取中點，則由為等邊三角形知，從而

以D為原點，以為坐標軸，建立如圖所示的坐標系，

此時,，設

由上面的討論知平面的法向量為

由于平面，故平面

故，故

設平面的法向量為，

由知，取，故

設平面和平面所成銳角為，則

即平面和平面所成銳角的余弦值為.