Question

（本小題13分）已知兩定點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)P的軌跡是曲線E，直線與曲線E交于A、B兩點(diǎn)。如果且曲線E上存在點(diǎn)C，使.
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）求AB的直線方程；
（Ⅲ）求的值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）。（Ⅲ）。

本試題主要是考查了雙曲線方程的求解，以及直線與雙曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。結(jié)合韋達(dá)定理和弦長公式，以及向量的坐標(biāo)關(guān)系式，得到參數(shù)的求解。
（1）根據(jù)雙曲線的定義可以得到雙曲線的方程的求解。
（2）聯(lián)立方程組，得到相交弦的長度以及韋達(dá)定理得到直線的方程。
(3)根據(jù)，得到坐標(biāo)關(guān)系式，結(jié)合上一問的結(jié)論，可知參數(shù)m的等式，得到結(jié)論。
解：（Ⅰ）由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且，易知

故曲線的方程為……….4分
（Ⅱ） 設(shè)，由題意建立方程組
消去，得
又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，有
      解得……….6分
又∵

依題意得    整理后得
∴或 但  ∴
故直線的方程為……….9分
（Ⅲ）設(shè)，由已知，得
∴，
又，
∴點(diǎn) 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程，得 
得，但當(dāng)時，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意 ∴，…13分