Question

某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的產值函數為R（x）=3 700x+45x²-10x³（單位：萬元），成本函數為C（x）=460x+5 000（單位：萬元），又在經濟學中，函數f（x）的邊際函數Mf（x）定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）.

（1）求利潤函數P（x）及邊際利潤函數MP（x）；（提示：利潤=產值-成本）

（2）問年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大？

（3）求邊際利潤函數MP（x）的單調遞減區間，并說明單調遞減在本題中的實際意義是什么？

Answer 1

（1）MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x²+60x+3 275 (x∈N^*,且1≤x≤19)（2）年造船量安排12艘時，可使公司造船的年利潤最大（3）MP（x）是減函數的實際意義是：隨著產量的增加，每艘利潤與前一艘比較，利潤在減少

解析:

  （1）P（x）=R（x）-C（x）=-10x³+45x²+3 240x-5 000（x∈N^*，且1≤x≤20）;

MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x²+60x+3 275 (x∈N^*,且1≤x≤19).

（2）P′(x)=-30x²+90x+3 240=-30(x-12)(x+9),

∵x＞0,∴P′(x)=0時,x=12，

∴當0＜x＜12時，P′(x)＞0,當x＞12時，P′(x)＜0,

∴x=12時，P(x)有最大值.

即年造船量安排12艘時，可使公司造船的年利潤最大.

（3）MP（x）=-30x²+60x+3 275=-30（x-1）²+3 305.

所以，當x≥1時，MP(x)單調遞減，

所以單調減區間為［1，19］，且x∈N^*.

MP（x）是減函數的實際意義是：隨著產量的增加，每艘利潤與前一艘比較，利潤在減少.