【題目】已知橢圓
方程為
，雙曲線
的兩條漸近線分別為
， 
，過橢圓
的右焦點作直線
，使
，又
與
交于點
，設直線
與橢圓
的兩個交點由上至下依次為
， 
．
（1）若
與
所成的銳角為
，且雙曲線的焦距為4，求橢圓
的方程；
（2）求
的最大值．
【答案】（1）
（2）最大值
．
【解析】試題分析：（1）首先由題意并結合雙曲線的性質可得出， 
所滿足的關系式，再與
聯立求出兩者的值即可得出所求的橢圓的方程；（2）首先聯立直線
與
的方程求出它們的交點
的坐標，再令
，利用引入的參數表示出點
的坐標，由于點
在橢圓上，代入橢圓的方程結合橢圓的性質求出
的取值范圍，即可得出所求的最大值．
試題解析： （1）雙曲線的漸近線為
，兩漸近線夾角為60°，又
，所以
，
所以
，所以
．又
，所以
， 
，所以橢圓
的方程為
，所以離心率
．
（2）由已知， 
與
聯立，解方程組得
．設
，則
，因為
，設
，則
，所以
，即
，將將A點坐標代入橢圓方程，得
，
等式兩邊同除以
， 
，所以
，當
，即
時， 
有最大值
，即
的最大值為
．
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是平行四邊形，BA＝BD＝
，AD＝2，PA＝PD＝
，E，F分別是棱AD，PC的中點．
（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）若二面角P－AD－B為60°．
①證明：平面PBC⊥平面ABCD；
②求直線EF與平面PBC所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知定義在R上的奇函數f（x），當x∈（0，+∞）時的解析式為f（x）=﹣x2+4x﹣3．
（1）求這個函數在R上的解析式；
（2）作出f（x）的圖象，并根據圖象直接寫出函數f（x）的單調區間． 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的一個焦點為
，其左頂點
在圓
上．
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）直線
交橢圓
于
兩點，設點
關于
軸的對稱點為
（點
與點
不重合），且直線
與
軸的交于點
，試問
的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，已知橢圓
的焦距為 
，直線
被橢圓 
截得的弦長為
.
（1）求橢圓 
的方程；
（2）設點
是橢圓 
上的動點，過原點
引兩條射線
與圓
分別相切，且
的斜率
存在. ①試問 
是否為定值？若是，求出該定值，若不是，說明理由；
②若射線
與橢圓 
分別交于點
，求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
： 
的左、右焦點分別為
，過
任作一條與兩條坐標軸都不垂直的直線，與橢圓
交于
兩點，且
的周長為8，當直線
的斜率為
時， 
與
軸垂直.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）在
軸上是否存在定點
，總能使
平分
？說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系
中，以
為極點， 
軸的正半軸為極軸建立極坐標系．若直線
的極坐標方程為
，曲線
的極坐標方程為
，將曲線
上所有點的橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標不變，然后再向右平移一個單位得到曲線
．
（Ⅰ）求曲線
的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知直線
與曲線
交于
兩點，點
，求
的值．
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