【題目】如圖，在三棱柱
中，側面
，
均為正方形，
,點
是棱
的中點.請建立適當的坐標系，求解下列問題：
（Ⅰ）求證：異面直線
與
互相垂直；
（Ⅱ）求二面角（鈍角）
的余弦值.
【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）
.
【解析】試題分析：（Ⅰ）由各面間的垂直關系，可建立以
為坐標原點的空間直角坐標系，進一步寫出各點的坐標，求出
坐標，利用兩者數量積為
可證異面直線 
與
互相垂直；（Ⅱ）通過空間向量間的運算，求出平面
的法向量，
平面
，得出平面的法向量為
．進一步利用二面角與兩平面法向量夾角間的關系求出二面角的余弦值．
試題解析：
證：因為側面
，均為正方形， 
，
所以
兩兩互相垂直，如圖所示建立直角坐標系
設
，則
.
（Ⅰ）證明：由上可知：
， 
，
所以
,所以
，所以，異面直線
與互相垂直.
（Ⅱ）解： 
，
設平面的法向量為
，則有
，
， 
，
取
，得
又因為平面，所以平面的法向量為
，分
因為二面角
是鈍角，所以，二面角的余弦值為
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，其中常數
．
（1）當
，求函數
的單調遞增區間；
（2）設定義在
上的函數
在點
處的切線方程為
，若
在
內恒成立，則稱
為函數
的“類對稱點”，當
時，試問
是否存在“類對稱點”，若存在，請至少求出一個“類對稱點”的橫坐標；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一個圓．
(1) 求實數m的取值范圍；
(2) 求該圓半徑r的取值范圍；
(3) 求該圓心的縱坐標的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知某運動員每次投籃命中的概率低于
，現采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個隨機數為一組，代表三次投籃的結果，經隨機模擬產生了如下20組隨機數：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
據此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
： 
（
）的左焦點為
，離心率為
．
（Ⅰ）求橢圓
的標準方程；
（Ⅱ）設
為坐標原點， 
為直線
上一點，過
作
的垂線交橢圓于
， 
．當四邊形
是平行四邊形時，求四邊形
的面積。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠修建一個長方體無蓋蓄水池，其容積為6400立方米，深度為4米．池底每平方米的造價為120元，池壁每平方米的造價為100元．設池底長方形的長為x米．
（Ⅰ）求底面積，并用含x的表達式表示池壁面積；
（Ⅱ）怎樣設計水池能使總造價最低?最低造價是多少?
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，我海監船在
島海域例行維權巡航，某時刻航行至
處，此時測得其東北方向與它相距
海里的
處有一外國船只，且
島位于海監船正東
海里處。
（Ⅰ）求此時該外國船只與
島的距離；
（Ⅱ）觀測中發現，此外國船只正以每小時
海里的速度沿正南方向航行。為了將該船攔截在離
島
海里處，不讓其進入
島
海里內的海域，試確定海監船的航向，并求其速度的最小值．
（參考數據： 
， 
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，A（－3，－10），
B (－2，－1)，C(3，4)，
（1）求邊AD和CD所在的直線方程；
（2）數列
的前
項和為
，點
在直線CD上，求證
為等比數列．
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