Question

【題目】如圖，一張坐標紙上已作出圓及點，折疊此紙片，使與圓周上某點重合，每次折疊都會留下折痕，設折痕與直線的交點為，令點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若直線與軌跡交于、兩點,且直線與以為直徑的圓相切，若，求的面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

分析：（1）根據垂直平分線的性質可得的軌跡是以為焦點的橢圓，且，可得，的軌跡的方程為；（2）與以為直徑的圓相切，則到的距離：，即， 由，消去，得，由平面向量數量積公式可得，由三角形面積公式可得，換元后，利用單調性可得結果.

詳解：（1）折痕為PP′的垂直平分線，則|MP|=|MP′|，由題意知圓E的半徑為，

∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=＞|EP|，

∴E的軌跡是以E、P為焦點的橢圓，且，

∴，∴M的軌跡C的方程為．

（2）與以EP為直徑的圓x2+y2=1相切，則O到的距離：

，即，

由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，

∵直線與橢圓交于兩個不同點，

∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），則，

y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，

又，∴，∴，

設μ=k4+k2，則，∴，…10分∵S△AOB關于單調遞增，∴，

∴△AOB的面積的取值范圍是