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【題目】如圖,一張坐標紙上已作出圓及點,折疊此紙片,使與圓周上某點重合,每次折疊都會留下折痕,設折痕與直線的交點為,令點的軌跡為曲線.

(1)求曲線的方程;

(2)若直線與軌跡交于兩點,且直線與以為直徑的圓相切,若,求的面積的取值范圍.

【答案】(1);(2)

【解析】

分析:(1)根據垂直平分線的性質可得的軌跡是以為焦點的橢圓,且可得的軌跡的方程為;(2)與以為直徑的圓相切,則的距離:,即,消去,得由平面向量數量積公式可得由三角形面積公式可得換元后,利用單調性可得結果.

詳解(1)折痕為PP′的垂直平分線,則|MP|=|MP′|,由題意知圓E的半徑為

∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=>|EP|,

∴E的軌跡是以E、P為焦點的橢圓,且

,∴M的軌跡C的方程為

(2)與以EP為直徑的圓x2+y2=1相切,則O到的距離:

,即

,消去y,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,

∵直線與橢圓交于兩個不同點,

∴△=16k2m2﹣8(1+2k2)(m2﹣1)=8k2>0,k2>0,

設A(x1,y1),B(x2,y2),則

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

,∴,∴

設μ=k4+k2,則,∴,…10分∵S△AOB關于單調遞增,∴

∴△AOB的面積的取值范圍是

練習冊系列答案
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【題目】設函數,則下列結論正確的是( )

A.時,函數上有最小值;

B.時,函數上有最小值;

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D.方程可能有三個實數根.

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【題目】已知四棱錐的底面是正方形,底面.

(1)求證:直線平面

(2)當的值為多少時,二面角的大小為

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【題目】在平面直角坐標系中,當P(x,y)不是原點時,定義P的“伴隨點”為P′( );當P是原點時,定義P的“伴隨點”為它自身,平面曲線C上所有點的“伴隨點”所構成的曲線C′定義為曲線C的“伴隨曲線”.現有下列命題:
①若點A的“伴隨點”是點A′,則點A′的“伴隨點”是點A;
②單位圓的“伴隨曲線”是它自身;
③若曲線C關于x軸對稱,則其“伴隨曲線”C′關于y軸對稱;
④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.
其中的真命題是(寫出所有真命題的序列).

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【題目】已知函數f(x)= sinx+cosωx(ω>0)的圖象與x軸交點的橫坐標依次構成一個公差為 的等差數列,把函數f(x)的圖象沿x軸向左平移 個單位,得到函數g(x)的圖象,則(
A.g(x)是奇函數
B.g(x)關于直線x=﹣ 對稱
C.g(x)在[ ]上是增函數
D.當x∈[ ]時,g(x)的值域是[2,1]

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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD= AD.E為棱AD的中點,異面直線PA與CD所成的角為90°.

(1)在平面PAB內找一點M,使得直線CM∥平面PBE,并說明理由;
(2)若二面角P﹣CD﹣A的大小為45°,求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.

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【題目】[選修4-4:坐標系與參數方程]

在平面直角坐標系中,已知直線 為參數),以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.

(1)求曲線的直角坐標方程;

(2)設點的極坐標為,直線與曲線的交點為 ,求的值.

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【題目】(1)已知是奇函數,求常數m的值;

(2)畫出函數的圖象,并利用圖象回答:k為何值時,方程 無解?有一解?有兩解?

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【題目】已知2件次品和3件正品混放在一起,現需要通過檢測將其區分,每次隨機檢測一件產品,檢測后不放回,直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束.

(1)求最后取出的是正品的概率;

(2)已知每檢測一件產品需要費用100元,設表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位:元),求的分布列和數學期望

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