Question

15．已知△ABC的三邊所在直線方程分別為AB：4x-3y+10=0，BC：y-2=0，CA：3x-4y-5=0．
（1）求∠A的正切值的大小；
（2）求△ABC的重心坐標．

Answer 1

分析 （1）利用兩條直線的夾角公式，求得∠A的正切值的大�。�
（2）先聯立方程組求得三個頂點的坐標，再利用三角形的重心坐標公式，求得△ABC的重心坐標．

解答 解：（1）∵△ABC的三邊所在直線方程分別為AB：4x-3y+10=0，BC：y-2=0，CA：3x-4y-5=0，
∴tan∠A=|$\frac{{K}_{AB}{-K}_{AC}}{1{+K}_{AB}{•K}_{AC}}$|=|$\frac{\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}{1+\frac{4}{3}•\frac{3}{4}}$|=$\frac{7}{24}$．
（2）聯立直線BC與AC的方程：$\left\{\begin{array}{l}{y-2=0}\\{3x-4y-5=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{13}{3}}\\{y=2}\end{array}\right.$，∴C（$\frac{13}{3}$，2）．
同理求得A（-$\frac{55}{7}$，-$\frac{50}{7}$）、B（-1，2），
△ABC的重心為G，則由三角形重心坐標共式可得x_G=$\frac{-\frac{55}{7}+（-1）+\frac{13}{3}}{3}$=-$\frac{95}{63}$，y_G=$\frac{-\frac{50}{7}+2+2}{3}$=-$\frac{22}{21}$，
∴△ABC的重心坐標是$G（{-\frac{95}{63}，-\frac{22}{21}}）$．

點評 本題主要考查兩條直線的夾角公式，求兩條直線的交點坐標，三角形的重心坐標公式，屬于中檔題．