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6.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的上頂點到右頂點的距離為2,左焦點為F(-$\sqrt{2}$,0),過點D(0,3)且斜率為k的直線l交橢圓于A,B兩點.
(1)求橢圓C的標準方程及k的取值范圍;
(2)在y軸上是否存在定點E,使$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$恒為定值?若存在,求出點E的坐標;若不存在,請說明理由.

分析 (1)由已知可得a2+b2=4,c=$\sqrt{2}$得a2,b2,設直線l:y=kx+3.把y=kx+3b2=1代入$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$,消去y得(1+3k2)x2+18kx+24=0.則△=(18k)2-4×24(1+3k2)>0,得k的取值范圍;
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-$\frac{18k}{1+3{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{24}{1+3{k}^{2}}$,又y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=$\frac{-3{k}^{2}+9}{3{k}^{2}+1}$,y1+y2=(kx1+3)+(kx2+3)=$\frac{6}{3{k}^{2}+1}$.假設存在點E(0,m),則$\overrightarrow{AE}=(-{x}_{1},m-{y}_{1}),\overrightarrow{BE}=(-{x}_{2},m-{y}_{2})$,
⇒$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BE}$═x1x2+m2-m(y1+y2)+y1y=$\frac{24}{1+3{k}^{2}}+{m}^{2}-\frac{6{m}^{2}}{1+3{k}^{2}}+\frac{-3{k}^{2}+9}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{(3{m}^{2}-3){k}^{2}+{m}^{2}-6m+33}{1+3{k}^{2}}$要使得$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BE}=t$(t為常數),只要$\frac{(3{m}^{2}-3){k}^{2}+{m}^{2}-6m+33}{3{k}^{2}+1}=t$,從而$\frac{3{m}^{2}-3}{3}=\frac{{m}^{2}-6m+33}{1}$,解得m

解答 解:(1)由已知可得a2+b2=4,c=$\sqrt{2}$得a2=3,b2=1,$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$.
過點D(0,3)且斜率0為k的直線l:y=kx+3.
把y=kx+3b2=1代入$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$,消去y得(1+3k2)x2+18kx+24=0.
則△=(18k)2-4×24(1+3k2)>0
k>$\frac{2\sqrt{6}}{3}$或k<-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$,
所以k的取值范圍是(-∞,-$\frac{2\sqrt{6}}{3})$∪($\frac{2\sqrt{6}}{3},+∞)$.…(5分)
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=-$\frac{18k}{1+3{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{24}{1+3{k}^{2}}$,又y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=$\frac{-3{k}^{2}+9}{3{k}^{2}+1}$,
y1+y2=(kx1+3)+(kx2+3)=$\frac{6}{3{k}^{2}+1}$.…(6分)
假設存在點E(0,m),則$\overrightarrow{AE}=(-{x}_{1},m-{y}_{1}),\overrightarrow{BE}=(-{x}_{2},m-{y}_{2})$,
所以$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BE}$═x1x2+m2-m(y1+y2)+y1y=$\frac{24}{1+3{k}^{2}}+{m}^{2}-\frac{6{m}^{2}}{1+3{k}^{2}}+\frac{-3{k}^{2}+9}{1+3{k}^{2}}$
=$\frac{(3{m}^{2}-3){k}^{2}+{m}^{2}-6m+33}{1+3{k}^{2}}$,…(8分)
要使得$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BE}=t$(t為常數),只要$\frac{(3{m}^{2}-3){k}^{2}+{m}^{2}-6m+33}{3{k}^{2}+1}=t$,
從而$\frac{3{m}^{2}-3}{3}=\frac{{m}^{2}-6m+33}{1}$,
整理得6m=34,
解得m=$\frac{17}{3}$,從而t=$\frac{280}{9}$,
故存在定點E(0,$\frac{17}{3}$).…(12分)

點評 本題考查了直線與橢圓的位置關系,及定點問題,屬于壓軸題.

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