Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，PA=AD=DC=2，AB=4．則點A到平面PBC的距離是（　�。�

• A．

  6

  3

• B．

  6

  2

• C．

  2 6

  3

• D．2

  6

Answer 1

分析：先證明BC⊥平面PAC，可得平面PBC⊥平面PAC，過A點在平面PAC內作AF⊥PC于F，所以AF⊥平面PBC，則AF的長即為點A到面PBC的距離，由此可得結論．

解答：解：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，∠BAD=90°，AD=DC=2
∴∠ADC=90°，且 AC=2

2

．
取AB的中點E，連接CE，

由題意可知，四邊形AECD為正方形，所以AE=CE=2，
又BE=

1

2

AB=2，所以CE=

1

2

AB，所以△ABC為等腰直角三角形，所以AC⊥BC，
又因為PA⊥平面ABCD，且AC為PC在平面ABCD內的射影，BC?平面ABCD，由三垂線定理得，BC⊥PC
因為PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC，BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC，
過A點在平面PAC內作AF⊥PC于F，所以AF⊥平面PBC，則AF的長即為點A到平面PBC的距離，
在直角三角形PAC中，PA=2，AC=2

2

，PC=2

3

，
所以AF=

2 6

3

，即點A到平面PBC的距離為

2 6

3

故選C．

點評：本題考查點到面的距離，考查學生的計算能力，考查線面、面面垂直，正確作出表示點A到平面PBC的距離的線段是關鍵．