Question

若向量

a

=(1，

3

)，且向量

a

，

b

滿足|

a

-

b

|=1，則|

b

|的取值范圍是

[1，3]

．

Answer 1

分析：由|

a

-

b

|=1，知|

a

|2-2|

a

|•|

b

|cosα+|

b

|2=1，由向量

a

=(1，

3

)，知4-4|

b

|cosα+|

b

|2=1，所以cosα=

3+| b |2

4| b |

，由α∈[0，180°]，知0≤

3+| b |2

4| b |

≤1，由此能求出|

b

|的取值范圍．

解答：解：∵|

a

-

b

|=1，
∴|

a

|2-2|

a

|•|

b

|cosα+|

b

|2=1，
∵向量

a

=(1，

3

)，
∴4-4|

b

|cosα+|

b

|2=1，
所以cosα=

3+| b |2

4| b |

，∵α∈[0，180°]，
∴0≤

3+| b |2

4| b |

≤1，
∵

3+| b |2

4| b |

＞0，∴

3+| b |2

4| b |

≤1，
∴3+|

b

|²≤4|

b

|，
即|

b

|²-4|

b

|+3≤0，
解得1≤|

b

|≤3．
故答案為：[1，3]．

點評：本題考查平面向量和數量積的性質和應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．