Question

15．設函數$f（x）=sin（ωx-\frac{3π}{4}）（ω＞0）的最小正周期為π$
（Ⅰ）求ω；      
（Ⅱ）若$f（\frac{α}{2}+\frac{3π}{8}）=\frac{24}{25}$，且$α∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$，求sin2α的值．
（Ⅲ）畫出函數y=f（x）在區間[0，π]上的圖象（完成列表并作圖）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據函數的周期為π，利用周期公式可得ω的值．
（Ⅱ）根據$f（\frac{α}{2}+\frac{3π}{8}）=\frac{24}{25}$，求出sinα的值，即可求解sin2α的值．
（Ⅲ）利用列表，描點，即可得圖象．

解答 解：（Ⅰ）∵函數$f（x）=sin（ωx-\frac{3π}{4}）（ω＞0）的最小正周期為π$，
∴$\frac{2π}{ω}=π$．
∴ω=2．
∴函數的解析式為：$f（x）=sin（2x-\frac{3π}{4}）$，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=sin（2x-\frac{3π}{4}）$，
由$f（\frac{α}{2}+\frac{3π}{8}）=\frac{24}{25}$，即sin（$2×\frac{α}{2}+\frac{3π}{8}×2-\frac{3π}{4}$）=$\frac{24}{25}$
得：$sinα=\frac{24}{25}$．
∵$-\frac{π}{2}＜α＜\frac{π}{2}$
∴$cosα=\frac{7}{25}$
故得sin2α=2sinαcosα=$\frac{336}{625}$．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知$f（x）=sin（2x-\frac{3π}{4}）$，于是有（1）列表

x	0	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$x∈[0，\frac{π}{2}]$	$\frac{7π}{8}$	π
y	$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$	-1	0	1	0	$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

描點，連線，函數y=f（x）在區間[0，π]上圖象如下：

點評 本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，解題時應根據畫三角函數的圖象的基本步驟畫出圖形，是基礎題．