Question

已知方程

|sinx|

x

=k在（0，+∞）上有兩個不同的解α，β（α＜β），則下面結論正確的是（　　）

• A、sin2α=2αcos²α
• B、cos2α=2αsin²α
• C、sin2β=2βcos²β
• D、cos2β=2βsin²β

Answer 1

分析：由題意可得，y=|sin x|的圖象與直線y=kx（k＞0）在（0，+∞）上有且僅有兩個公共點，故直線y=kx與y=|sin x|在（π，

3

2

π）內相切，且切于點（β，-sin β），切線的斜率為-cos β=

-sinβ

β

，化簡可得結論．

解答：解：∵

|sinx|

x

=k，∴|sin x|=kx，
∴要使方程

|sinx|

x

=k（k＞0）在（0，+∞）上有兩個不同的解，
則y=|sin x|的圖象與直線y=kx（k＞0）在（0，+∞）上
有且僅有兩個公共點，
所以直線y=kx與y=|sin x|在（π，

3

2

π）內相切，
且切于點（β，-sin β），
∴切線的斜率為-cos β=

-sinβ

β

，∴βcos β=sin β，
∴sin 2β=2sin βcos β=2βcos²β，
故選：C．

點評：本題主要考查函數的零點與方程的根的關系，導數的幾何意義，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．