Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、P分別是BC、A₁D₁的中點，M、N分別是AE、CD₁的中點，AD=A₁A₁=a，Ab=2a，
（Ⅰ）求證：MN∥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）求二面角P-AE-D的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲證MN∥面ADD₁A₁，取CD的中點K，連接MK，NK，只需證面MNK∥面ADD₁A₁，根據面面平行的判定定理可知只需在一個平面內找兩相交直線與另一平面平行，MK∥面ADD₁A₁，NK∥面ADD₁A₁，MN∩NK=N，滿足定理條件．
（Ⅱ）設F為AD的中點，作FH⊥AE，交AE于H，連接PH，根據二面角的平面角的定義可知∠PHF為二面角P-AE-D的平面角，在Rt△PFH中求出此角即可．
解答：解：（Ⅰ）證明：取CD的中點K，連接MK，NK
∵M，N，K分別為AK，CD₁，CD的中點
∵MK∥AD，NK∥DD₁
∴MK∥面ADD₁A₁，NK∥面ADD₁A₁
∴面MNK∥面ADD₁A₁
∴MN∥面ADD₁A₁
（Ⅱ）設F為AD的中點
∵P為A₁D₁的中點∴PF∥DD₁
∴PF⊥面ABCD
作FH⊥AE，交AE于H，連接PH，則由三垂線定理得AE⊥PH
從而∠PHF為二面角P-AE-D的平面角．
在Rt△AEF中，，從而
在Rt△PFH中，
故：二面角P-AE-D的大小為
點評：本小題主要考查長方體的概念、直線和平面、平面和平面的關系等基礎知識，以及空間想象能力和推理能力．