Question

11．設P為函數f（x）=sinπx的圖象上的一個最高點，Q為函數g（x）=cosπx的圖象上的一個最低點．
（1）求|PQ|的最小值；
（2）求f（x）的圖象與g（x）的圖象的交點中，相鄰的三個交點構成的三角形的面積；
（3）求函數f（x）的圖象關于直線x=$\frac{1}{4}$對稱的函數h（x）圖象的解析式，并求出$x∈[-\frac{2}{3}，\frac{1}{3}]$的值域．

Answer 1

分析 （1）設出P和Q的坐標，根據兩點之間的距離公式求解．
（2）根據正余弦函數的圖象可知，相鄰的三個交點構成的三角形是一個等腰三角形，其高為$\sqrt{2}$，底邊長為一個周期T=2．可求的三角形的面積；
（3）根據函數f（x）的圖象關于直線x=$\frac{1}{4}$對稱的函數h（x）圖象，求出解析式，$x∈[-\frac{2}{3}，\frac{1}{3}]$時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的值域．

解答 解：（1）P為函數f（x）=sinπx的圖象上的一個最高點，Q為函數g（x）=cosπx的圖象上的一個最低點．
設f（x）最高點坐標為P$（\frac{1}{2}+2{k_1}，1）{k_1}∈Z$，g（x）最低點坐標為Q（1+2k₂，-1）k₂∈Z
∴$|{PQ}|=\sqrt{{{[2{{（{k_1}-{k_2}）}^2}-\frac{1}{2}]}^2}+4}$
當k₁-k₂=0時|PQ|_min=$\frac{{\sqrt{17}}}{2}$．
（2）函數f（x）=sinπx和函數g（x）=cosπx的周期T=$\frac{2π}{π}=2$，
其相鄰的三個交點構成一個等腰三角形，其高為$\sqrt{2}$，底邊長為一個周期T=2．
三角形的面積S=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2$=$\sqrt{2}$；
（3）函數f（x）的圖象與函數h（x）圖象關于直線x=$\frac{1}{4}$對稱，
設h（x）圖象上的點M（x，h（x）），關于直線x=$\frac{1}{4}$對稱的點N為（x-$\frac{1}{2}$，-h（x）），
N點在函數f（x）的圖象上，
∴-h（x）=f（x-$\frac{1}{2}$）=sinπ（x-$\frac{1}{2}$）
∴h（x）=-sin（$πx-\frac{π}{2}$）=cosπx
∵$x∈[-\frac{2}{3}，\frac{1}{3}]$，
∴πx∈[$-\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]
當$πx=-\frac{2π}{3}$時，函數h（x）取得最小值為$-\frac{1}{2}$，
當πx=0時，函數h（x）取得最大值為1．
故得$x∈[-\frac{2}{3}，\frac{1}{3}]$時函數h（x）的值域為 $[-\frac{1}{2}，1]$．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，圖象對稱關系的解析式的求法．屬于中檔題．