Question

在平面直線坐標系xOy中，直線l與拋物y²=2x相交于A、B兩點.

(1)求證：“如果直線l過點（3，0），那么=3”是真命題.

(2)寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由.

Answer 1

（1）證明：設l:x=ty+3,代入拋物線y²=2x,消

去x得?

y²-2ty-6=0.?

設A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),?

∴y₁+y₂=2t,y₁y₂=-6,?

=x₁x₂+y₁y₂=(ty₁+3)(ty₂+3)+y₁y₂?

=t²y₁y₂+3t(y₁+y₂)+9+y₁y₂?

=-6t²+3t2t+9-6=3.?

∴=3,故為真命題.

(2)解：(1)中命題的逆命題是：若=3，則直線l過點（3,0）是假命題.?

設l:x=ty+b,代入拋物線y²=2x,消去x得y²-2ty-2b=0.?

設A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),則y₁+y₂=2t,y₁y₂=-2b.?

∵=x₁x₂+y₁y₂?

=(ty₁+b)(ty₂+b)+y₁y₂?

=t²y₁y₂+bt(y₁+y₂)+b²+y₁y₂?

=-2bt²+bt2t+b²-2b=b²-2b,?

令b²-2b=3,得b=3或b=-1.?

此時直線l過點（3，0）或（-1，0）.?

故逆命題為假命題.

點評：本題主要考查直線與拋物線的位置關系、平面向量的數量積運算及四種命題，考查運算能力及利用所學知識與方法解決問題的能力.