Question

設{x}表示離x最近的整數，即若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（m∈Z），則{x}=m．給出下列關于函數f（x）=|x-{x}|的四個命題：
①函數y=f（x）的定義域是R，值域是[0，

1

2

]；
②函數y=f（x）的圖象關于直線x=

k

2

（k∈Z）對稱；
③函數y=f（x）是周期函數，最小正周期是1；
④函數y=f（x）在[2，

5

2

]上是增函數．
其中真命題的個數是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：新定義,函數的性質及應用

分析：根據題意，理解什么是“m叫做離實數x最近的整數”，再根據函數f（x）=|x-{x}|的表達式進行分析判斷，即可得出正確的命題．

解答： 解：對于①，∵m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m為整數），
∴-

1

2

＜x-m≤

1

2

，∴0≤|x-m|≤

1

2

，
∴函數f（x）=|x-{x}|=|x-m|的值域為[0，

1

2

]，①正確；
對于②，由定義知：當x=-

1

2

時，m=-1，∴f（-

1

2

）=|-

1

2

-（-1）|=

1

2

；
當-

1

2

＜x≤

1

2

時，m=0，∴f（x）=|x-0|=|x|≤

1

2

，
∴x∈[-

1

2

，

1

2

]時，f（x）=|x|關于y軸對稱；
且函數y=f（x）是周期函數，最小正周期為1，
∴函數f（x）的圖象關于直線x=

k

2

（k∈Z）對稱，②正確；
對于③，由-

1

2

＜x-m≤

1

2

得-

1

2

＜（x+1）-（m+1）≤

1

2

，
∴{x+1}={x}+1=m+1，∴f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x），
∴函數y=f（x）是周期函數，最小正周期為1，③正確；
對于④，當x∈[-

1

2

，

1

2

]時，f（x）=|x|關于y軸對稱，
且函數y=f（x）是周期函數，最小正周期為1，
函數f（x）的圖象關于直線x=

k

2

（k∈Z）對稱，
∴f（x）在[2，

5

2

]上是增函數，④正確．
綜上，正確的命題是①②③④．
故選：D．

點評：本題考查了新定義的函數的概念與性質的應用問題，解題時應理解新定義的概念，再根據定義進行解答問題，是較難的題目．