Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2+lnx
（1）若x=e為y=f（x）-2ex-ax的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值
（2）若x₀是函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，且x₀∈（b，b+1），其中b∈N，則求b的值
（3）若當(dāng)x≥1時(shí)f(x)≥c(x-1)+

1

2

，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2+lnx，y=f（x）-2ex-ax，我們易求出函數(shù)y=f（x）-2ex-ax的解析式，又由進(jìn)而求出其導(dǎo)函數(shù)的解析式，又由x=e為y=f（x）-2ex-ax的極值點(diǎn)，故y'_x=e=0，由此構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程即可求出實(shí)數(shù)a的值
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，我們易得函數(shù)f(x)=

1

2

x2+lnx為增函數(shù)，若x₀是函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，利用二分法我們易得在區(qū)間（

1

e

，1）上存在函數(shù)唯一的零點(diǎn)，則（

1

e

，1）?（b，b+1），又由b∈N，即求出b的值
（3）構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-c(x-1)-

1

2

，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為當(dāng)x≥1時(shí)函數(shù)恒成立問(wèn)題，分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，即可求出c的取值范圍．

解答：解：（1）y′=x+

1

x

-2e-a…（2分）
∵y在x=e處取得極值，∴y'_x=e=0即e+

1

e

-2e-a=0解得a=

1

e

-e
經(jīng)檢驗(yàn)a=

1

e

-e符合題意，∴a=

1

e

-e…（4分）
（2）∵f′(x)=x+

1

x

，（x＞0），∴f'（x）＞0
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增…（5分）
又∴f(

1

e

)=

1

2e2

+ln

1

e

=

1

2e2

-1＜0
且f(1)=

1

2

+ln1=

1

2

＞0
由二分法可得x0∈(

1

e

，1)…（7分）
又∵(

1

e

，1)⊆(0，1)
∴b=0…（8分）
（3）設(shè)g(x)=f(x)-c(x-1)-

1

2

，g′(x)=x+

1

x

-c，∵x≥1，∴x+

1

x

≥2
（ⅰ）若c≤2，當(dāng)x≥1時(shí)，g′(x)=x+

1

x

-c≥0恒成立
故g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
所以，x≥1時(shí)，g（x）≥g（1），即f(x)≥c(x-1)+

1

2

．…（9分）
若c＞2，方程g'（x）=0有2根
x1=

c- c2-4

2

或x2=

c+ c2-4

2

且x₁＜1＜x₂
此時(shí)若x∈（1，x₂），則g'（x）＜0，
故g（x）在該區(qū)間為減函數(shù)
所以x∈（1，x₂）時(shí)，g（x）＜g（1）=0即f(x)＜c(x-1)+

1

2

與題設(shè)f(x)≥c(x-1)+

1

2

矛盾
綜上，滿足條件的c的取值范圍是（-∞，2]…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，函數(shù)恒成立問(wèn)題，函數(shù)的零點(diǎn)，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件構(gòu)造方程y'_x=e=0，（2）的關(guān)鍵是用二分法求出在區(qū)間（

1

e

，1）上存在函數(shù)唯一的零點(diǎn)，（3）的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)恒成立問(wèn)題．