Question

設(shè)函數(shù)f（x）=，其中向量=（cos，sin） （x∈R），向量=（cosϕ，sinϕ）（|ϕ|＜），f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱．
（Ⅰ）求ϕ的值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=1+sin的圖象按向量=（m，n） （|m|＜π）平移可得到函數(shù)y=f（x）的圖象，求向量．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）通過向量的數(shù)量積，求出函數(shù)的關(guān)系式，利用對稱軸直接求出ϕ的值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=1+sin的圖象按向量=（m，n） （|m|＜π）平移，求出函數(shù)的解析式，利用與函數(shù)y=f（x）的圖象相同，求向量．另解：通過函數(shù)y=f（x）逆向推出函數(shù)，使得與函數(shù)y=1+sin的圖象相同，求出向量．
解答：解：（Ⅰ）f（x）==coscosϕ+sinsinϕ=cos（-ϕ），
∵f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱，
∴，
∴，k∈Z，又|ϕ|＜，∴ϕ=．
（Ⅱ）f（x）=cos（-）=sin（+）=sin（x+），
由y=1+sin平移到y(tǒng)=sin（x+），只需向左平移單位，
再向下平移1個單位，考慮到函數(shù)的周期為π，且=（m，n） （|m|＜π），
∴，n=-1，即=（-，-1）．
另解：f（x）=cos（-）=sin（+）=sin（x+），
由平移到，只要即，
∴=（-，-1）．
點(diǎn)評：本題是一道三角函數(shù)與平面向量相結(jié)合的綜合問題，既考查了三角函數(shù)的變形以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，又考查了運(yùn)用平面向量進(jìn)行圖象平移的知識．