Question

（2006•靜安區二模）已知動圓過定點F(

1

2

，0)，且與定直線l：x=-

1

2

相切．
（1）求動圓圓心M的軌跡方程；
（2）設點O為坐標原點，P、Q兩點在動點M的軌跡上，且滿足OP⊥OQ，OP=OQ，求等腰直角三角形POQ的面積；
（3）設一直線l與動點M的軌跡交于R、S兩點，若

OR

•

OS

=-1且2

2

≤|RS|＜4

14

，試求該直線l的傾斜角的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意設出M的坐標，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑列式得到M的軌跡；
（2）由OP⊥OQ，分別設直線OP的方程為：y=kx，直線OQ的方程為：y=-

1

k

x，和拋物線方程聯立解得P和Q的坐標，由OP=OQ求出k的值，則點P和Q的坐標可求，然后直接代入三角形面積公式求解；
（3）設出R和S的坐標，由

OR

•

OS

=-1得到兩點的縱坐標的乘積，求出|RS|的長度（用含有兩點的縱坐標表示），求解不等式2

2

≤|RS|＜4

14

即可得到k的范圍，從而得到直線的傾斜角的范圍．

解答：解：（1）設動圓圓心M的坐標為M（x，y），因為動圓過定點F(

1

2

，0)，且與定直線l：x=-

1

2

相切，
所以M到直線l：x=-

1

2

的距離等于M到F的距離，
于是有(x+

1

2

)2=(x-

1

2

)2+y2
化簡得y²=2x，即動圓圓心M的軌跡方程為y²=2x；
（2）因為OP⊥OQ，設直線OP的方程為：y=kx，
則直線OQ的方程為：y=-

1

k

x，
解得點P、Q的坐標分別為(

2

k2

，

2

k

)，(2k2，2k3)，
由OP=OQ，得

4

k2

+

4

k4

=4k4+4k6，k⁸=1，可得點P、Q坐標分別為（2，2），（2，-2）
所以，S△POQ=

1

2

|OP|2=4；
（3）設R(

y12

2

，y1)，S(

y22

2

，y2)，由

OR

•

OS

=-1解得y₁y₂=-2，|RS|=

(y12-y22)2 4 +(y1-y2)2

=

(y1+y2)2(y1-y2)2+4(y1-y2)2

2

ⅰ）直線與x軸垂直時，R(1，

2

)，S(1，-

2

)，符合
ⅱ）設RS斜率為k，傾斜角為θ，y1+y2=

2

k

，|RS|=2

1 k4 + 3 k2 +2

，
由2

2

≤|RS|＜4

14

，得2≤

1

k4

+

3

k2

+2≤56，
解得k≥

6

6

或k≤-

6

6

．
所以，直線傾斜角θ的取值范圍是π-arctan

6

6

≥θ≥arctan

6

6

．

點評：本題考查了軌跡方程，考查了直線和圓錐曲線的關系，考查了分類討論的數學思想方法，考查了學生的計算能力屬于壓軸題．