Question

17、求函數y=7-4sinxcosx+4cos²x-4cos⁴x的最大值與最小值．

Answer 1

分析：利用二倍角的正弦函數公式及同角三角函數間的基本關系化簡y的解析式后，再利用配方法把y變為完全平方式即y=（1-sin2x）²+6，可設z═（u-1）²+6，u=sin2x，因為sin2x的范圍為[-1，1]，根據u屬于[-1，1]時，二次函數為遞減函數，利用二次函數求最值的方法求出z的最值即可得到y的最大和最小值．

解答：解：y=7-4sinxcosx+4cos²x-4cos⁴x=7-2sin2x+4cos²x（1-cos²x）=7-2sin2x+4cos²xsin²x=7-2sin2x+sin²2x=（1-sin2x）²+6
由于函數z=（u-1）²+6在[-1，1]中的最大值為z_max=（-1-1）²+6=10
最小值為z_min=（1-1）²+6=6
故當sin2x=-1時y取得最大值10，當sin2x=1時y取得最小值6

點評：此題重點考查三角函數基本公式的變形，配方法，符合函數的值域及最值；本題的突破點是利用倍角公式降冪，利用配方變為復合函數，重視復合函數中間變量的范圍是關鍵．