Question

19、求函數(shù)y=-cos²x-4sinx+6的值域．

Answer 1

分析：先利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系把函數(shù)關(guān)系式化為關(guān)于sinx的式子，配方后根據(jù)正弦函數(shù)的值域得出sinx的范圍，從而得出在自變量sinx范圍中函數(shù)y為減函數(shù)，從而求出y的最大值及最小值，進(jìn)而得出函數(shù)的值域．

解答：解：y=-cos²x-4sinx+6=-（1-sin²x）-4sinx+6=sin²x-4sinx+5=（sinx-2）²+1，
∵sinx∈[-1，1]，且函數(shù)在[-1，1]上為減函數(shù)，
∴x=-1時，y取得最大值，y_max=10；x=1時，y取得最小值，y_min=2，
則函數(shù)的值域為y∈[2，10]．

點評：此題考查了三角函數(shù)的恒等變形及化簡求值，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及正弦函數(shù)的值域，利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為自變量為sinx的二次函數(shù)頂點形式，進(jìn)而判斷出函數(shù)為減函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．