Question

【題目】已知橢圓C：（a＞b＞0）過點（1，），過橢圓C的一個焦點作與長軸垂直的直線，被橢圓C截得的弦長為1

（1）求橢圓C的標準方程

（2）已知點P為橢圓C上不同于頂點的一點，A，B為橢圓C的左，右頂點，直線AP，BP分別與直線x＝﹣6交于M，N兩點設線段MN中點為Q，求的取最小值時點Q的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）Q點坐標為（﹣6，0）

【解析】

（1）由題意將點坐標以及橢圓的通徑公式代入即可求得和的值，進而可得橢圓的方程；

（2）求出點和點坐標，表示出，根據基本不等式的性質，即可求得取最小值時點坐標.

（1）由題意可知，解得，

所以橢圓的方程；

（2）設P（x，y），kAPkBP，

令kAP＝k，則kBP（k≠0），

則直線AP：y＝k（x+2），

令x＝﹣6，得M（﹣6，﹣4k），直線BP：y，同理得N（﹣6，），

所以Q（﹣6，﹣2k），

所以32+（﹣2k＝4k228≥32，

當且僅當4k2，即k＝±時取等號，

此時Q點坐標為（﹣6，0）.