Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

3

3

，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切，A．B分別是橢圓的左、右頂點，P為橢圓C上的動點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若P與A、B均不重合，設直線PA與PB的斜率分別為k₁、k₂，證明：k₁•k₂為定值；
（3）若M為過P且垂直于x軸的直線上的點，且

|OP|

|OM|

=2，求點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）寫出圓的方程，利用直線與圓相切的充要條件列出方程求出b的值，利用橢圓的離心率公式得到a，c的關系，再利用橢圓本身三個參數的關系求出a，c的值，從而可得橢圓的方程；
（2）設出P的坐標，將其代入橢圓的方程得到P的坐標的關系，寫出A，B的坐標，利用兩點連線的斜率公式求出k₁，k₂，將P的坐標的關系代入k₁k₂化簡求出其值．
（3）設出M的坐標，求出P的坐標，利用兩點的距離公式將已知的幾何條件用坐標表示，化簡即可求點M的軌跡方程．

解答：（1）解：由題意可得圓的方程為x²+y²=b²，
∵直線x-y+2=0與圓相切，
∴d=

2

2

=b，即b=

2

，
又e=

c

a

=

3

3

，即a=

3

c，
∵a²=b²+c²，
∴a=

3

，c=1，
∴橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1；
（2）證明：設P（x₀，y₀）（y₀≠0），A（-

3

，0），B（

3

，0），
∴k₁=

y0

x0+ 3

，k₂=

y0

x0- 3

∵

x02

3

+

y02

2

=1，∴y02=2-

2x02

3

，
∴k₁•k₂=

y02

x02-( 3 )2

=

2- 2x02 3

x02-( 3 )2

=-

2

3

；
（3）解：設M（x，y），其中x∈[-

3

，

3

]．
由已知

|OP|

|OM|

=2及點P在橢圓C上可得

x2+2- 2 3 x2

x2+y2

=4
整理得

x2

6 11

+

y2

2

=1，其中x∈[-

3

，

3

]．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線的斜率，考查軌跡方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．