Question

已知矩陣A=[

x 3 2 y

]，α=[

4   -1

]，且Aα=[

9   4

]．
（1）求實數x，y的值；
（2）求A的特征值λ₁，λ₂（λ₁＞λ₂）及對應的特征向量

α1

，

α2

；
（3）計算A²⁰α．

Answer 1

分析：（1）直接根據矩陣與列向量的乘法法則建立等式，解之即可求出實數x，y的值；
（2）令矩陣M的特征多項式等于0，即可求得矩陣M的特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應的特征向量；
（3）將向量

α

用兩特征向量線性表示，最后根據公式A²⁰α=A²⁰（

α1

+

α2

）=λ₁²⁰

α1

+λ₂²⁰

α2

進行求解即可．

解答：解：（1）∵A=[

x 3 2 y

]，α=[

4   -1

]，Aα=[

9   4

]，
∴Aα=[

x 3 2 y

][

4   -1

]=[

4x-3   8-y

]=[

9   4

]，解得：

x=3 y=4

，
∴實數x，y的值分別為3，4；
（2）矩陣A的特征多項式為矩陣M的特征多項式為f（λ）=λ²-7λ+6，
令f（λ）=0，得矩陣M的特征值為6或1，
當λ=6時 由二元一次方程

3x-3y=0 -2x+2y=0

得x-y=0，令x=1，則y=1，
所以特征值λ=6對應的特征向量為

α1

=

1   1

，
當λ=1時 由二元一次方程

-2x-3y=0 -2x-3y=0

得2x+3y=0，
令x=3，則y=-2，
所以特征值λ=1對應的特征向量為

α2

=

3   -2

；
（3）令[

4   -1

]=m

1   1

+n

3   -2

，
∴

m+3n=4 m-2n=-1

，解得：

m=1 n=1

，
故A²⁰α=6²⁰

α1

+1²⁰

α2

=

620+3   620-2

．

點評：本題以矩陣為載體，考查矩陣M的特征值及特征向量，關鍵是求其行列式，正確寫出矩陣M的特征多項式，同時考查了矩陣的應用，屬于中檔題．