Question

12．已知函數$f（x）=x（1-\frac{a}{{{2^x}+1}}）$是R上的偶函數．
（1）對任意的x∈[1，2]，不等式$m•\frac{x}{f（x）}≥{2^x}+1$恒成立，求實數m的取值范圍；
（2）令$g（x）=1-\frac{f（x）}{x}$，設函數F（x）=g（4^x-n）-g（2^x+1-3）有零點，求實數n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數的奇偶性求出a的值，問題等價于m≥2^x-1恒成立，求出m的范圍即可；
（2）求出g（x）的表達式，得到n=4^x-2^x+1+3，從而求出n的范圍即可．

解答 解：（1）∵函數f（x）是偶函數，
∴f（-x）=f（x），即（-x）•（1-$\frac{a}{{2}^{-x}+1}$）=x•（1-$\frac{a}{{2}^{x}+1}$），
∴x•（2-a）=0，由于x不恒為0，
∴a=2，
故f（x）=x（1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$）=x•$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
∵x∈[1，2]，∴2^x-1＞0，2^x+1＞0，
∴不等式m•$\frac{x}{f（x）}$≥2^x+1恒成立，
等價于m≥2^x-1恒成立，
又x∈[1，2]，∴2^x-1∈[1，3]，
∴m≥3時，不等式m≥2^x-1恒成立，
∴m的范圍是[3，+∞）；
（2）函數F（x）=x（1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$），
∴g（x）=1-$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，（x≠0），
由2^x+1是增函數，∴g（x）是減函數，
∴4^x-n=2^x+1-3，
∴n=4^x-2^x+1+3，
∵4^x-2^x+1+3=（2^x-1）²+2，
又x≠0，∴（2^x-1）²+2＞2，
故實數n的范圍是（2，+∞）．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數的奇偶性問題，是一道中檔題．