Question

【題目】已知過拋物線 的焦點，斜率為 的直線交拋物線于 ， （ ）兩點，且 .
（1）求該拋物線的方程；
（2） 為坐標原點， 為拋物線上一點，若 ，求 的值.

Answer 1

【答案】
（1）解：設直線AB方程為：y=
聯立 得
由韋達定理得：
由拋物線定理知：
|AB|=|AF|+|BF|=
得： 即p=4
∴拋物線方程為：
（2）解：由p=4，方程： 化為
解得x1=1, x2=4.即A（1，-2 ） B（4，4 ）
由 + （4，4 ）
知 代入拋物線方程
.
解得： =0或 =2
【解析】本題主要考查有關拋物線的標準方程和簡單的性質問題。第一小題，主要是根據弦長問題求解拋物線的標準方程，先根據題意求出拋物線的交點坐標，進而寫出過焦點的直線方程，然后和拋物線方程進行聯立，利用弦長公式即可求得p，求出拋物線的標準方程。第二小題主要是拋物線性質的應用，根據第一小題中求出點A，B的坐標，根據向量的關系式 O C = O A + λ O B 求出點C的坐標，代入拋物線方程即可求解。