Question

【題目】已知函數f（x）= ．
（1）證明：f（x）+|f（x）﹣2|≥2；
（2）當x≠﹣1時，求y= 的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為f（x）= ≥0，

所以f（x）+|f（x）﹣2|=|f（x）|+|2﹣f（x）|≥|f（x）+2﹣f（x）|=2，

當且僅當f（x）[2﹣f（x）]≥0即0≤f（x）≤2即﹣1﹣2 ≤x≤﹣1+2 時取等號

（2）解：當x≠﹣1時，f（x）= ＞0，

所以y= = + +[f（x）]2≥3 = ，

當且僅當 = =[f（x）]2即x=﹣1± 時取等號，

所以所求最小值為

【解析】（1）通過絕對值不等式放縮可得結論；（2）通過當x≠﹣1時f（x）= ＞0，利用基本不等式的推廣放縮可得結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的最值及其幾何意義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值．