Question

設拋物線C：x²=2py（p＞0），過它的焦點F且斜率為1的直線與拋物線C相交于A，B兩點，已知|AB|=2．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知t是一個負實數，P是直線y=t上一點，過P作直線l₁與l₂，使l₁⊥l₂，若對任意的點P，總存在這樣的直線l₁與l₂，使l₁，l₂與拋物線均有公共點，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用拋物線的定義，結合|AB|=2，即可求得拋物線的方程；
（2）由題意知，只需使過點P（0，t）的拋物線x²=y的切線PC的垂線PD與該拋物線有交點即可，
將直線PD的方程代入拋物線方程，得到△≥0，即可求t的取值范圍．
解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AB|==
由題意知，拋物線的焦點F為（0，），則直線AB的方程為，即為，
聯立拋物線方程得到整理得x²-2px-p²=0（p＞0），則
故|AB|==2，解得
故拋物線C的方程為：x²=y；
（2）由（1）知拋物線C的方程為：x²=y，如圖示，設C（），P（0，t），
由題意知，只需使過點P（0，t）的拋物線x²=y的切線PC的垂線PD與該拋物線有交點即可，
將拋物線的方程改寫為y=x²，求導得
所以過點C的切線PC的斜率是，即
由于直線PD與切線PC垂直，故直線PD的斜率為-
則直線PD的方程為：，即是
聯立拋物線的方程y=x²得到
由于PD與該拋物線有交點，則，即（t＜0）
解得 ，則t的取值范圍為{t|}．
點評：本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．