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設拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,A(x,y)(x≠0)是拋物線C上的一定點.
(1)已知直線l過拋物線C的焦點F,且與C的對稱軸垂直,l與C交于Q,R兩點,S為C的準線上一點,若△QRS的面積為4,求p的值;
(2)過點A作傾斜角互補的兩條直線AM,AN,與拋物線C的交點分別為M(x1,y1),N(x2,y2).若直線AM,AN的斜率都存在,證明:直線MN的斜率等于拋物線C在點A關于對稱軸的對稱點A1處的切線的斜率.
【答案】分析:(1)設出F,Q,R的坐標,求出|QR|,利用△QRS的面積為4,可求p的值;
(2)求拋物線C在點A關于對稱軸的對稱點A1處的切線的斜率,一種方法是設直線方程與拋物線方程聯立,利用判別式為0,另一種方法是導數法;求直線MN的斜率,一種方法是設直線方程與拋物線方程聯立,利用韋達定理及斜率公式,可求斜率,另一種方法是利用kAM=-kAN,確定斜率,從而可得結論.
解答:(1)解:由題設,設,則…(1分)
=.…(2分)
∴由△QRS的面積為4,得:,得:p=2.…(4分)
(2)證明:由題意A1(-x,y)…(5分)
首先求拋物線C在點A關于對稱軸的對稱點A1處的切線的斜率.
解法一:設拋物線在A1處的切線的斜率為k,則其方程為y=k(x+x)+y…(6分)
聯立,消去y得x2-2pkx-2pxk-2py=0
代入上式得:…(7分)
…(8分)
,即,得
即拋物線C在點A關于對稱軸的對稱點A1處的切線的斜率為.…(9分)
解法二:由x2=2py得,…(6分)
…(7分)
∴拋物線C在點A關于對稱軸的對稱點A1(-x,y)處的切線的斜率為.…(9分)
再求直線MN的斜率.
解法一:設直線AM的斜率為k1,則由題意直線AN的斜率為-k1.…(10分)
直線AM的方程為y-y=k1(x-x),則直線AN的方程為y-y=-k1(x-x).
聯立,消去y得…(1)…(11分)
∵方程(1)有兩個根x,x1,∴
,x+x1=2pk1,即x1=2pk1-x,同理可得x2=-2pk1-x…(12分)
直線MN的斜率=.…(13分)
∴直線MN的斜率等于拋物線C在點A關于對稱軸的對稱點A1處的切線的斜率.…(14分)
解法二:∵kAM=-kAN…(10分)
…(11分)
分別代入上式得:
整理得2x=x1+x2.…(12分)
∴直線MN的
斜率=.…(13分)
∴直線MN的斜率等于拋物線C在點A關于對稱軸的對稱點A1處的切線的斜率.…(14分)
點評:本小題主要考查直線、拋物線、對稱等知識,考查數形結合、化歸與轉化、方程的思想方法,考查數學探究能力以及運算求解能力.
練習冊系列答案
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(2012•黑龍江)設拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,準線為l,A∈C,已知以F為圓心,FA為半徑的圓F交l于B,D兩點;
(1)若∠BFD=90°,△ABD的面積為4
2
;求p的值及圓F的方程;
(2)若A,B,F三點在同一直線m上,直線n與m平行,且n與C只有一個公共點,求坐標原點到m,n距離的比值.

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設拋物線C:x2=2py(p>0),F為焦點,拋物線C上一點P(m,3)到焦點的距離是4,拋物線C的準線l與y軸的交點為H
(1)求拋物線C的方程;
(2)設M是拋物線C上一點,E(0,4),延長ME、MF分別交拋物線C于點A、B,若A、B、H三點共線,求點M的坐標.

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設拋物線C:x2=2py(p>0),過它的焦點F且斜率為1的直線與拋物線C相交于A,B兩點,已知|AB|=2.
(1)求拋物線C的方程;
(2)已知t是一個負實數,P是直線y=t上一點,過P作直線l1與l2,使l1⊥l2,若對任意的點P,總存在這樣的直線l1與l2,使l1,l2與拋物線均有公共點,求t的取值范圍.

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設拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,A(x0,y0)(x0≠0)是拋物線C上的一定點.
(1)已知直線l過拋物線C的焦點F,且與C的對稱軸垂直,l與C交于Q,R兩點,S為C的準線上一點,若△QRS的面積為4,求p的值;
(2)過點A作傾斜角互補的兩條直線AM,AN,與拋物線C的交點分別為M(x1,y1),N(x2,y2).若直線AM,AN的斜率都存在,證明:直線MN的斜率等于拋物線C在點A關于對稱軸的對稱點A1處的切線的斜率.

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