Question

（2012•黑龍江）設拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，準線為l，A∈C，已知以F為圓心，FA為半徑的圓F交l于B，D兩點；
（1）若∠BFD=90°，△ABD的面積為4

2

；求p的值及圓F的方程；
（2）若A，B，F三點在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個公共點，求坐標原點到m，n距離的比值．

Answer 1

分析：（1）由對稱性知：△BFD是等腰直角△，斜邊|BD|=2p點A到準線l的距離d=|FA|=|FB|=

2

p，由△ABD的面積S_△ABD=4

2

，知

1

2

×BD×d=

1

2

×2p×

2

p=4

2

，由此能求出圓F的方程．
（2）由對稱性設A(x0，

x 2 0

2p

)(x0＞0)，則F(0，

p

2

)點A，B關于點F對稱得：B(-x0，p-

x 2 0

2p

)⇒p-

x 2 0

2p

=-

p

2

?

x

2 0

=3p2，得：A(

3

p，

3p

2

)，由此能求出坐標原點到m，n距離的比值．

解答：解：（1）由對稱性知：△BFD是等腰直角△，斜邊|BD|=2p
點A到準線l的距離d=|FA|=|FB|=

2

p，
∵△ABD的面積S_△ABD=4

2

，
∴

1

2

×BD×d=

1

2

×2p×

2

p=4

2

，
解得p=2，
∴圓F的方程為x²+（y-1）²=8．
（2）由題設A(x0，

x 2 0

2p

)(x0＞0)，則F(0，

p

2

)，
∵A，B，F三點在同一直線m上，
又AB為圓F的直徑，故A，B關于點F對稱．
由點A，B關于點F對稱得：B(-x0，p-

x 2 0

2p

)⇒p-

x 2 0

2p

=-

p

2

?

x

2 0

=3p2
得：A(

3

p，

3p

2

)，直線m：y=

3p 2 - p 2

3 p

x+

p

2

?x-

3

y+

3 p

2

=0x2=2py?y=

x2

2p

⇒y′=

x

p

=

3

3

⇒x=

3

3

p⇒切點P(

3 p

3

，

p

6

)
直線n：y-

p

6

=

3

3

(x-

3 p

3

)?x-

3

y-

3

6

p=0
坐標原點到m，n距離的比值為

3 p

2

：

3 p

6

=3．

點評：本題考查拋物線與直線的位置關系的綜合應用，具體涉及到拋物線的簡單性質、圓的性質、導數的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．