Question

【題目】某服裝加工廠為了提高市場競爭力，對其中一臺生產設備提出了甲、乙兩個改進方案：甲方案是引進一臺新的生產設備，需一次性投資1000萬元，年生產能力為30萬件；乙方案是將原來的設備進行升級改造，需一次性投入700萬元，年生產能力為20萬件.根據市場調查與預測，該產品的年銷售量的頻率分布直方圖如圖所示，無論是引進新生產設備還是改造原有的生產設備，設備的使用年限均為6年，該產品的銷售利潤為15元/件（不含一次性設備改進投資費用）.

（1）根據年銷售量的頻率分布直方圖，估算年銷量的平均數（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；

（2）將年銷售量落入各組的頻率視為概率，各組的年銷售量用該組區間的中點值作年銷量的估計值，并假設每年的銷售量相互獨立.

①根據頻率分布直方圖估計年銷售利潤不低于270萬元的概率：

②若以該生產設備6年的凈利潤的期望值作為決策的依據，試判斷該服裝廠應選擇哪個方案.（6年的凈利潤=6年銷售利潤-設備改進投資費用）

Answer 1

【答案】（1）19.8萬件（2）①0.6 ②乙方案.

【解析】

（1）利用小矩形的中點乘以小矩形的面積之和，從而求得平均數；

（2）①由題意得只有當年銷售量不低于18萬件時年銷售利潤才不低于270萬，再從頻率分布直方圖中，估計年銷售利潤不低于270萬的概率；

②分別計算兩種方案6年的凈利潤的期望值，再比較大小，從而得到結論。

（1）年銷量的平均數（萬件）.

（2）①該產品的銷售利潤為15元/件，

由題意得只有當年銷售量不低于18萬件時年銷售利潤才不低于270萬，

所以年銷售利潤不低于270萬的概率.

②設甲方案的年銷售量為X萬件，由（1）可知甲方案的年銷售量的期望，

所以甲方案6年的凈利潤的期望值為（萬元）.

設乙方案的年銷售量為Y萬件，則乙方案的年銷售量的分布列為

Y	12	16	20
P	0.05	0.35	0.6

所以乙方案的年銷售量期望（萬件），

所以乙方案6年的凈利潤的期望值為（萬元），

因為乙方案的凈利潤的期望值大于甲方案的凈利潤的期望值,

所以企業應該選擇乙方案.