Question

已知經過原點的直線l平分拋物線f（x）=x²-6x與x軸所圍封閉區域的面積．
（I）求拋物線f（x）與x軸所圍成封閉區域的面積S；
（II）求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）若用定積分求面積，需求出自變量的取值區間，再用定積分列出面積公式．
（2）首先求出直線l與拋物線的交點坐標，即此時的自變量的取值區間，在已知面積的情況下列出相應的面積公式．

解答：解（1）由f（x）=0得x=0或x=6，
所以S=-

∫

6 0

(x2-6x)dx=

1

3

x3-3x2

|

6 0

=36．
（II）設直線l：y=kx，由

y=kx y=x2-6x

得x²-（k+6）x=0，所以x=0或x=6+k．
因為直線l平分拋物線f（x）=x²-6x與x軸所圍封閉區域的面積，
所以

∫

k+6 0

[kx-(x2-6x)]dx
=

∫

k+6 0

[-x2+(k+6)x]dx=-

1

3

x3+

k+6

2

x2

|

k+6 0

=-

1

3

(k+6)3+

1

2

(k+6)3=18，
解得k=3

3	4

-6，
所以直線l的方程為y=(3

3	4

-6)x．

點評：本題考查定積分在求面積中的應用，此題比較新穎，有一定的代表性，在求定積分時，要明確自變量的區間．