Question

如圖，已知過原點O的直線與函數y=log₈x的圖象交于A，B兩點，分別過A，B作y軸的平行線與函數y=log₂x的圖象交于C，D兩點；若BC∥x軸，則點A的坐標為

（

3

，

1

6

log23）

．

Answer 1

分析：設出A、B的坐標，解出C、D的坐標，根據OC、OD的斜率相等，利用三點共線得出A、B的坐標之間的關系．再根據BC平行x軸，B、C縱坐標相等，推出橫坐標的關系，結合之前得出A、B的坐標之間的關系即可求出A的坐標．

解答：解：設點A、B的橫坐標分別為x₁、x₂，
由題設知，x₁＞1，x₂＞1．則點A、B縱坐標分別為log₈x₁，log₈x₂，
因為A、B在過點O的直線上，所以

log8x1

x1

=

log8x2

x2

，
點C、D坐標分別為（x₁，log₂x₁），（x₂，log₂x₂）．
由于BC平行于x軸，可知，
log₂x₁=log₈x₂，
即得log₂x₁=

1

3

log₂x₂，
∴x₂=

x

3 1

．
代入x₂log₈x₁=x₁log₈x₂，得x₁²log₈x₁=3x₁log₈x₁．
由于x₁＞1知log₈x₁≠0，
∴x₁²=3x₁．
考慮x₁＞1，解得x₁=

3

．
于是點A的坐標為（

3

，log8

3

），即A（

3

，

1

6

log23），
故答案為：（

3

，

1

6

log23）．

點評：本小題主要考查對數函數圖象、對數換底公式、對數方程、指數方程等基礎知識，考查運算能力和分析問題的能力．屬于中檔題．