Question

如圖，已知過原點O從x軸正方向出發逆時針旋轉240°得到射線t,點A(x,y)在射線t上(x＜0,y＜0=，設|OA|=m,又知點B在射線y=0(x＜0=上移動，設P為第三象限內的動點，若·=0，且·，·，||²成等差數列.

(1)試問點P的軌跡是什么曲線？

(2)已知直線l的斜率為,若直線l與曲線C有兩個不同的交點M，N，設線段MN的中點為Q，求點Q的橫坐標的取值范圍.

Answer 1

解：(1)設點A(x₁,x₁),B(x₁,0),P(x,y).

∵⊥,∴x=x₂.

∵|OA|=m,

∴=|2x₁|=m,

∵點A在第三象限，∴x₁＜0,

∴x₁=-,A(-,-m).

∵·+||²=·,

    即［-(x+,y+m)］·(0,-y)+(x+,m)²

=(,m)·(x+,y+m),

    整理得(x+)²+y²=(x＜0,y＜0),

∴點P的軌跡是圓的一部分.

(2)設點Q(x₀,y₀),l:y=x+b,

M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),

x²+(+b)x+b²=0,

Δ=0時，b=-m或m(舍)，

∴b∈(-m,0),

x₀==-,

∴x₀∈(-m,m).