Question

已知函數 f（x）=2+log₃x（1≤x≤9），g（x）=[f（x）]²+f（x²）．
（1）求函數g（x）的解析式及定義域；
（2）求函數g（x）的最大值與最小值及相應的x值．

Answer 1

分析：（1）由g（x）=[f（x）]²+f（x²）=（2+log₃x）²+（2+log₃x²）得g（x）的解析式為g（x）=log₃²x+6log₃x+6，由此能求出g（x）的定義域．
（2）因為 g（x）=log₃²x+6log₃x+6=（log₃x+3）²-3（1≤x≤3），又 0≤log₃x≤1，所以當log₃x=0即x=1時，g（x）_min=6．由此能求出函數g（x）的最大值與最小值及相應的x值．

解答：解：（1）由g（x）=[f（x）]²+f（x²）
=（2+log₃x）²+（2+log₃x²），
得g（x）的解析式為g（x）=log₃²x+6log₃x+6，
由

1≤x≤9 1≤x2≤9

，
得g（x）的定義域為 1≤x≤3．
（2）因為 g（x）=log₃²x+6log₃x+6
=（log₃x+3）²-3（1≤x≤3），
又 0≤log₃x≤1，
所以當log₃x=0，
即x=1時，
g（x）_min=6；
當log₃x=1，
即x=3時，
g（x）_max=13．

點評：本題考查函數的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．