Question

在△ABC中，角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=

1

4

b²．
（Ⅰ）當p=

5

4

，b=1時，求a，c的值；
（Ⅱ）若角B為銳角，求p的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理把題設等式中的角的正弦轉化成邊，解方程組求得a和c的值．
（Ⅱ）先利用余弦定理求得a，b和c的關系，把題設等式代入表示出p²，進而利用cosB的范圍確定p²的范圍，進而確定pd 范圍．

解答：（Ⅰ）解：由題設并利用正弦定理得

a+c= 5 4 ac= 1 4

故可知a，c為方程x²-

5

4

x+

1

4

=0的兩根，
進而求得a=1，c=

1

4

或a=

1

4

，c=1
（Ⅱ）解：由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB=p²b²-

1

2

b²cosB-

1

2

b2，
即p²=

3

2

+

1

2

cosB，
因為0＜cosB＜1，
所以p²∈（

3

2

，2），由題設知p∈R，所以

6

2

＜p＜

2

或-

2

＜p＜-

6

2

又由sinA+sinC=psinB知，p是正數
故

6

2

＜p＜

2

即為所求

點評：本題主要考查了解三角形問題．學生能對正弦定理和余弦定理的公式及變形公式熟練應用．