Question

某市A有四個郊縣B、C、D、E．（如圖）現有5種顏色，若要使每相鄰的兩塊涂不同顏色，且每塊只涂一種顏色，問有多少種不同的涂色方法？

Answer 1

分析：根據題意，分析可得符合題意的涂色至少要3種顏色，分3種情況討論：①用5種顏色涂，②用4種顏色涂，③有3種顏色涂，由排列公式計算可得每種情況的涂色方法數目，進而由分類計數原理，計算可得答案．

解答：解：根據題意，A、B、C三個區域兩兩相鄰，則符合題意的涂色至少要3種顏色，
分3種情況討論：
①用5種顏色涂，有A₅⁵=120種涂色方法，
②用4種顏色涂，必須是A、B、C顏色互不相同，D或E用第四種顏色，最后一個區域與所對的區域同色，
則有C₅⁴•C₄¹•C₂¹•C₃²•A₂²=240種涂色方法，
③有3種顏色涂，必須是A、B、C顏色互不相同，D與B顏色相同，C與E顏色相同，
則有C₅³•A₃³=60種涂色方法，
由分類計數原理，共有不同的涂色方法120+240+60=420種．
答：不同的涂色方法有420種．

點評：本題考查排列、組合的運用，關鍵是注意條件中所給的相同的區域不能用相同的顏色，根據圖形的特點，進行分析．