Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PD⊥底面ABCD，E為PC的中點．
（1）求證：EB∥平面PAD；
（2）若PA=AD=DC，求二面角E-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取CD的中點F，連接EF、BF，則EF∥PD，由此能夠證明EB∥平面PAD．
（2）建立空間直角坐標系O-xyz，設OB=1，則PA=AD=DC=2，利用向量法能夠求出二面角E-BD-C的余弦值．

解答：（1）證明：取CD的中點F，連接EF、BF，
則EF∥PD，
∴EF∥平面PAD，
∵BF∥AD，∴BF∥平面PAD，
∴平面EBF∥平面PAD，
∴EB∥平面PAD．
（2）解：如圖，建立空間直角坐標系O-xyz，
設OB=1，則PA=AD=DC=2，
∴B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），C（2，2，0），


∴E（1，1，1），

BE

=（0，1，1），

BD

=(-1，2，0)，
取平面BDC的法向量

n1

=(0，0，1)，
設平面BDE的法向量

n2

=(x，y，z)，則

BD

•

n2

=0，

BE

•

n2

=0，
∴

-x+2y=0 y+z=0

，∴

n2

=（2，1，-1），
設二面角E-BD-C的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

-1

6

|=

6

6

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的平面角的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．