Question

【題目】已知函數f（x）= x2+lnx．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）求證：當x＞1時， x2+lnx＜ x3 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意知函數的定義域為{x|x＞0}，

∵f′（x）=x+ ，∴f′（x）＞0，

∴f（x）的單調增區間為（0，+∞）

（2）證明：設g（x）= x3﹣ x2﹣lnx，

∴g′（x）=2x2﹣x﹣ ，

∵當x＞1時，g′（x）= ＞0，

∴g（x）在（1，+∞）上為增函數，

∴g（x）＞g（1）= ＞0，

∴當x＞1時， x2+lnx＜ x3

【解析】（1）確定函數的定義域，求導函數，可得導數的正負，即可得到函數的單調區間；（2）構造函數g（x）= x3﹣ x2﹣lnx，確定g（x）在（1，+∞）上為增函數，即可證得結論．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．