Question

平面上當兩坐標軸不垂直時，稱為斜坐標系．斜坐標定義為：若

OP

=x0•

i

+y0•

j

（其中

i

，

j

分別是斜坐標系的x軸，y軸的單位向量），則稱點P的坐標為（x₀，y₀）．在平面斜坐標系∠xoy=60°中，兩點A（1，2），B（3，4）的距離為（　　）

• A．2

  2

• B．2

  5

• C．2

  3

• D．2

  6

Answer 1

分析：由斜坐標定義得到向量

OA

、

OB

關于x軸，y軸的單位向量

i

，

j

的線性表示式，再用向量的減法法則得到向量

AB

=2

i

+2

j

．最后利用向量數量積的運算性質，計算出|

AB

|2，代入題中單位向量的長度與

i

，

j

數量積的數據，可得A、B兩點的距離為2

3

．

解答：解：∵A的坐標為（1，2），B的坐標為（3，4），
∴

OA

=

i

+2

j

，

OB

=3

i

+4

j

所以向量

AB

=

OB

-

OA

=2

i

+2

j

∵∠xoy=60°，

i

，

j

分別是斜坐標系的x軸，y軸的單位向量
∴|

i

|=|

j

| =1，

i

•

j

=|

i

|•|

j

| cos60°=

1

2

因此|

AB

|2=(2

i

+2

j

)2=4|

i

|2+8

i

•

j

+4|

j

|2
=4×12+8×

1

2

+4×12=12
∴|

AB

|   =

12

=2

3

，即A、B兩點的距離為2

3

故選C

點評：本題以斜坐標系為例，考查了向量的線性運算和向量數量積的公式，并且考查了利用向量的長度公式求兩點之間的距離，屬于中檔題．