Question

若的圖象與直線y=m（m＞0）相切，并且切點橫坐標依次成公差為π的等差數(shù)列．
（1）求a和m的值；
（2）△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊．若是函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心，且a=4，求△ABC外接圓的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）將f（x）解析式兩項分別利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由周期為π，利用周期公式求出a的值，確定出函數(shù)解析式，再由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定出f（x）的值域，確定出f（x）的最大值，即為m的值；
（2）由（，）是函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心，將此點代入f（x）解析式中得到sin（A-）=0，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，確定出sinA的值，由a與sinA的值，利用正弦定理求出三角形ABC外接圓的半徑，即可求出外接圓的面積．
解答：解：（1）f（x）=cos²ax-sinaxcosax=（cos2ax+1）-sin2ax=-sin（2ax-），
由題意，函數(shù)f（x）的周期為π，且最大（或最小）值為m，而m＞0，-1＜0，
∵-1≤sin（2ax-）≤1，
∴-1≤f（x）≤+1，
∴a=1，m=+1；
（2）∵（，）是函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心，
∴sin（A-）=0，
∵A為△ABC的內(nèi)角，∴A=，
△ABC中，設外接圓半徑為R，由正弦定理得：2R===，即R=，
則△ABC的外接圓面積S=πR²=．
點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及正弦定理，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．