Question

若f(x)=

3

cos2ax-sinaxcosax (a＞0)的圖象與直線y=m（m＞0）相切，并且切點橫坐標依次成公差為π的等差數列．
（1）求a和m的值；
（2）△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊．若(

A

2

 ， 

3

2

)是函數f（x）圖象的一個對稱中心，且a=4，求△ABC外接圓的面積．

Answer 1

分析：（1）將f（x）解析式兩項分別利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由周期為π，利用周期公式求出a的值，確定出函數解析式，再由正弦函數的圖象與性質確定出f（x）的值域，確定出f（x）的最大值，即為m的值；
（2）由（

A

2

，

3

2

）是函數f（x）圖象的一個對稱中心，將此點代入f（x）解析式中得到sin（A-

π

3

）=0，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，確定出sinA的值，由a與sinA的值，利用正弦定理求出三角形ABC外接圓的半徑，即可求出外接圓的面積．

解答：解：（1）f（x）=

3

cos²ax-sinaxcosax=

3

2

（cos2ax+1）-

1

2

sin2ax=

3

2

-sin（2ax-

π

3

），
由題意，函數f（x）的周期為π，且最大（或最小）值為m，而m＞0，

3

2

-1＜0，
∵-1≤sin（2ax-

π

3

）≤1，
∴

3

2

-1≤f（x）≤

3

2

+1，
∴a=1，m=

3

2

+1；
（2）∵（

A

2

，

3

2

）是函數f（x）圖象的一個對稱中心，
∴sin（A-

π

3

）=0，
∵A為△ABC的內角，∴A=

π

3

，
△ABC中，設外接圓半徑為R，由正弦定理得：2R=

a

sinA

=

4

sin π 3

=

8 3

3

，即R=

4 3

3

，
則△ABC的外接圓面積S=πR²=

16π

3

．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，以及正弦定理，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．